كاربرد معادله ديفرانسيل از نظر تاريخي با معرفي مفهوم هاي مشتق و انتگرال آغاز گرديد. ساده ترين نوع معادله ديفرانسيل آن دسته از معادلاتي هستند كه مشتق تابع جواب را داشته باشيم. كه چنين محاسبه اي به پاد مشق گيري و انتگرال گيري نامعين موسوم است.    معادلات ديفرانسيل وابستگي بين توابع و مشتق هاي توابع را نشان مي دهد. كه از لحاظ تاريخي به طور طبيعي از زمان كشف مشتق به وسيله نيوتن ولايب نيتس آغاز مي شود. (قرن هفدهم ميلادي). كه با رشد سريع علم و صنعت در قرن بيستم روشهاي عددي حل معادلات ديفرانسيل مورد توجه قرار گرفتند كه توسعه و پيشرفت كامپيوتر ها در پايان قرن بيستم موجب كاربرد روش هاي تقريبي تعيين جواب معادلات ديفرانسيل در بسياري از زمينه هاي كاربردي گرديد كه باعث بوجود آمدن مباحث جديد در اين زمينه شد.نمادها و مفاهيم اساسياگر    تابعي از متغير حقيقي باشد و                       ضابطه آن و     متغير تابع يا مقدار تابع باشد، آنگاه مشتق    با يكي از نمادهاي                                              نمايش داده مي شود. همچنين مشتق دوم، سوم،... و    ام آن نيز به ترتيب با نمادهاينمايش داده مي شوند. اگر   تابعي از دو متغير حقيقي       باشد آنگاه مشتق هاي جزئي   با نمادهاي                                                       نمايش داده مي شوند. همچنين اگر                           آنگاه مشتق هاي جزئي   با نمادهاي                               و يا                                                           نمايش داده مي شوند.همچنين داريم:كه اين توابع مشتقات جزئي مرتبه دوم و مراتب بالاتر است.همچنين براي توابع   متغير حقيقي داريم:كه فرض مي كنيم همه مشتقات جزئي تا مرتبه مورد نظر پيوسته باشند.حال براي تابع از متغير حقيقي با مقدار حقيقي                                           را ديفرانسيل تابع   گويند. اگر تابع از    متغير حقيقي  باشد.را ديفرانسيل كامل تابع    گويند. كه در حالت خاص اگر   از دو متغير حقيقي با مقدار حقيقي باشد داريم:معادلات ديفرانسيل معمولي و با مشتقات جزئييك معادله ديفرانسيل هر كدام از توابع ضمني از متغير يا متغيرهاي مستقل، متغير يا متغيرهاي تابع و مشتق هاي متغير يا متغير هاي تابع نسبت به متغير يا متغيرهاي مستقل مي تواند    باشد كه حتماً بايد لا اقل يك مشتق ساده يا جزئي در آن حضور داشته باشد.معادله ديفرانسيل                                                           يك نوع از معادلات ديفرانسيل است كه فقط يك متغير مستقل     در آن وجود دارد. و         متغير تابع و             مشتقات مرتبه اول تا    ام نسبت به   است. متغير        مي توانند در معادلات ديفرانسيل نباشند ولي حضور لااقل يك مشتق الزامي است. معادله ديفرانسيل                                                                                       يك نوع معادله است كه شامل         متغير مستقل                              است و فقط يك متغير تابع         دارد كه در آن       تابعي از      ها است.براي دسته بندي معادلات ديفرانسيل مي گوييم  هرگاه همه مشتق هاي ظاهر شده در معادله مشتق ساده باشند آنگاه معادله را معادله ديفرانسيل معمولي (يا ساده يا عادي) مي ناميم. اما اگر در عبارت معادله لااقل يك مشتق جزئي ظاهر شود آن را يك معادله ديفرانسيل با مشتقات جزئي يا معادله ديفرانسيل نسبي مي ناميم.معادلات ديفرانسيل زير از جمله معادلات ديفرانسيل مهم هستند:(معادله خطي غير همگن)؛(معادله بزنولي)(معادله ريكاتي)(معادله لا پلاس)(معادله كلرو)       غير خطي؛(معادله لاگرانژ)          غير خطي؛(معادله يك بعدي حرارتي)          ثابت؛(معادله اولر)            ثابت؛(معادله لژ اندر)       ثابت؛ (معادله بسل)            ثابت نا منفي؛(معادله پواسن)         (معادله يك بعدي موج)       ثابت؛(معادله ترافيك)      (معادله لاگرانژ)(معادله پفافي)(معادله ارتعاش تير)        ثابتاز معادلات ديفرانسيل فوق معادلات (3)(4)(5)(7)(8)(10)(11)(12) معادلات ديفرانسيل معمولي و بقيه معادلات ديفرانسيل نسبي مي باشند.اگر بخواهيم يك معادله را به صورت ديفرانسيلي بنويسيم مي توانيم به جاي     عبارت       را جايگزين كنيم. مثلاً براي معادله                           به صورت    است.يك روش ديگر براي دسته بندي معادلات ديفرانسيل استفاده از مرتبة  آنها است كه مرتبة يك معادله ديفرانسيل عبارت است از بزرگترين مرتبه مشتق يا مشتقات ظاهر شده در عبارت معادله ديفرانسيل. با توجه به معادلات فوق مي بينيم كه معادلات (3) و(4)و(5)و(7)و(8)و(15)و(16)و(17) معادلات مرتبه اول و معادلات (6)و(9)و(10)و(11) و(12)و(13)و(14) معادلات مرتبه دوم و معادله ديفرانسيل (18) يك معادله مرتبه چهارم است.وقتي معادلات ديفرانسيل هر كدام داراي بيش از يك متغير تابع باشند در اين صورت معادلات به تنهايي ظاهر نمي شوند و مجموعه اي از آنها مورد استفاده قرار مي گيرد كه اغلب تعدادشان با تعداد متغيرهاي تابع برابر است. اين گونه معادلات را دستگاه معادلات ديفرانسيل مي ناميم.يك روش ديگر براي دسته بندي معادلات ديفرانسيل استفاده از مفهوم خطي بودن يا غير خطي بودن معادلات ديفرانسيل است.يك معادله ديفرانسيل معمولي يا با مشتقات جزئي داده شده را يك معادله ديفرانسيل خطي در مجموعه متغيرهاي تابعي اش گوئيم هر گاه:1) متغير يا متغيرهاي تابع از توان يك باشند.2) متغير تابع يا متغيرهاي تابع و مشتقات، ضريب متغيرهاي تابعي و مشتقات آنها نباشند.3) خود متغير تابعي غير خطي نباشد.در غير اين صورت اگر هر كدام از شرطهاي بالا نقص شود معادله ديفرانسيل  غير خطي است از معادلات مهم كه ارائه كرديم معادلات (3)و(6)و(9)و(10) و(11) و(12) و(13) و (14) و (18) خطي هستند و معادله (4) (به دليل حضور   ) و (5) (به دليل حضور    )، (7) (به دليل غير خطي بودن   ) و (8) (براي لا اقل غير خطي بودن          ) غير خطي هستند. معادلات (16) و (17) مي توانند خطي يا غير خطي باشند.همچنين مي توان خطي بودن را نسبت به يك عامل از معادله ديفرانسيل، مانند متغير تابع يا متغيرهاي تابع، يا مشتق از مرتبه مشخصي تعيين نمود. اين گونه معادلات نيمه خطي يا شبه خطي ناميده مي شوند. مثلاً معادله                                     كه يك معادله غير خطي نسبت به متغير تابع       به دليل حضور                            و همچنين به علت حضور      است را مي توان يك معادله خطي نسبت به مشتقات جزئي ناميد.  يك معادله ديفرانسيل مرتبه اول خطي معمولي به صورت كليو معادله مرتبه دوم خطي معمولي نيز به صورت كلينمايش داده مي شوند. صورت كلي معادلات ديفرانسيل  با مشتقات جزئي مرتبه     ام خطي طولاني و پيچيده است. كه در اينجا معادلات مرتبه اول و دوم خطي از آنها را نمايش مي دهيم. ولي مي توان با كمك از معادلات ديفرانسيل مراتب اول و دوم معادلات مراتب بالاتر را نيز نوشت.معادله زير يك صورت عمومي از معادلات با مشتقات جزئي مرتبه اول خطي از   متغير مستقل با يك متغير تابع است.